题意
有n个数的序列, 下标为[1.. N ], 限制条件为: 下标从 si 到 si+ni 的项求和 < 或 > ki. 一共有m个限制条件. 问是否存在满足条件的序列.
思路
转化为差分约束, 就是
即 Si 为第 i 项的前缀和, 特别的 So 为0. 转化不等式(连续子段和变为前缀和之差 > < 变为 >= <= ),求最短路, 判断有没有负权回路.
注意
由于并不知道图是否连通
(不像是之前的那道Candies图一定是联通的,选择班长所代表的点即可)
所以正常情况下是要另设一个"超级源点", 连接图上的每个点, 从这个点出发就一定可以遍历到每一个点.
"超级源点"到每个点的边权是任意的,而它自己的点权自然是0.
这样的话,就求出了一组满足每对点的差尽可能大, 并且其中的d[0] = 0的解.
1. 将所有点(包括"超级源点")同时平移, 均为满足所有约束的可行解(包括新加入的边权们)
2. 将原图中的所有点同时平移, 得到所有满足原有约束的可行解. 但是仍有d[0] = 0的此时, 与超级源点的这些约束有可能不满足. 但是显然这是无所谓的.
3. 由此可知, 超级源点的作用就在于确保图的连通性,使得每一个点都有一个"距离". 而"超级源点"带来的额外约束一是d[0] = 0, 二是新加的边权. 二者影响的都是d[1]到d[n]的浮动情况(d[0]是参考零点, 额外的边权约束则是起到了限制d[1]到d[n]与d[0]的距离的作用,一堆不等式同样是选择了限制最严的那些并且距离尽可能大....没有实际意义...)
总之参考零点就是这样~
但是用SPFA只是判断负环的话,只需要初始时将所有点入队(而非只将源点入队), 然后判断每个点的入队次数. 如果超过点的总数, 说明存在负环.否则不存在.
数值上是从INF开始减, 有负环的话就会一直减... 没有的话就会正常退出, 当然这个时候d[ ] 值会很大..
SFPA + stack
//132K 16MS#include#include #include using namespace std;const int MAXN = 105;const int MAXE = 105;const int INF = 0x3f3f3f3f;struct pool{ int v,pre,w;} p[MAXE];int num,head[MAXN],d[MAXN],n,m,enq[MAXN];bool inq[MAXN];stack s;void clear(){ while(!s.empty()) s.pop(); memset(head,0,sizeof(head)); memset(d,0x3f,sizeof(d)); memset(inq,false,sizeof(inq)); memset(enq,0,sizeof(enq)); num = 0;}bool SPFA(){ for(int i=0;i<=n;i++) { s.push(i); inq[i] = true; enq[i]++; } d[0] = 0; while(!s.empty()) { int u = s.top(); s.pop(); inq[u] = false; for(int tmp=head[u],v;v=p[tmp].v,tmp;tmp=p[tmp].pre) { int w = p[tmp].w; if(d[v]>d[u]+w) { d[v] = d[u] + w; if(!inq[v]) { inq[v] = true; enq[v]++; if(enq[v]>n+1) return false; s.push(v); } } } } return true;}void add(int u, int v ,int w){ p[++num].v = v; p[num].w = w; p[num].pre = head[u]; head[u] = num;}int main(){ while(scanf("%d",&n)==1 && n) { clear(); scanf("%d",&m); while(m--) { int si,ni,ki; char o,p; scanf("%d %d %c%c %d",&si,&ni,&o,&p,&ki); if(o=='g') add(si+ni,si-1,-ki-1); else add(si-1,si+ni,ki-1); } printf(SPFA()?"lamentable kingdom\n":"successful conspiracy\n"); }}
用Bellman-Ford也可以.这个时候就要用到超级源点啦
//120K 0MS#include#include using namespace std;const int MAXN = 105;const int MAXE = 210;const int INF = 0x3f3f3f3f;int s[MAXE],e[MAXE],w[MAXE];int num,d[MAXN],n,m;void clear(){ memset(d,0x3f,sizeof(d)); num = 0;}bool Bellman_Ford(){ d[n+1] = 0; for(int i=0;i<=n+1;i++) { for(int j=1;j<=num;j++) { if(d[e[j]]>d[s[j]]+w[j]) d[e[j]] = d[s[j]] + w[j]; } } for(int j=1;j<=num;j++) { if(d[e[j]]>d[s[j]]+w[j]) return false; } return true;}void add(int u, int v ,int c){ s[++num] = u; e[num] = v; w[num] = c;}int main(){ while(scanf("%d",&n)==1 && n) { clear(); scanf("%d",&m); while(m--) { int si,ni,ki; char o,p; scanf("%d %d %c%c %d",&si,&ni,&o,&p,&ki); if(o=='g') add(si+ni,si-1,-ki-1); else add(si-1,si+ni,ki-1); } for(int i=0;i<=n;i++) { add(n+1,i,0); } printf(Bellman_Ford()?"lamentable kingdom\n":"successful conspiracy\n"); }}